武士の武張ってする「然らば御免をこうむって＝それでは、お言葉に甘えて失礼いたす」という挨拶を芝居などで町人が覚え、むだぐちにしたもの。気取った言い回しなので、将棋の対局中にも酒の席でも使われたでしょう。
推測ですが、「こうむり」は「かぶり」に転化し、羽織を含め、着物をはしょって頭から被るラフな着方があるため、最後に羽織を出したのかもしれません。
もう一つ、「かぶる」は「かじる」の意味の同音異義語があるので、そこから「歯」→はおりとしゃれたというのはどうでしょう。いや、いくら何でもむだぐちでそこまで考えてはいませんね。ことばというのは生き物ですから、人が意図しなくても、自然に暗号めいた符合が付いてしまうことが、よくあるものなので。