「時鳥の声を聞きに来た」というのと、北野の天満宮の「北野」を掛けたしゃれに過ぎません。「聞き」は、動詞の連用形が名詞化して「評判」という意味もあるので、「北野で名高い時鳥の噂を」という意味も含んでいるでしょう。
北野天満宮(京都市下京区)旧一ノ保社(いちのほしゃ)は、かつて時鳥の篇額を掲げていたため、「時鳥天満宮」の異名、「安楽寺天満宮」と称されて、神仏習合の施設でした。寺と神社のごちゃまぜです。天神社の縁起によると、北野の神殿には木彫りの時鳥があり、いつも奇声を上げていたとか。
一の保社の社殿が全焼した文安元年(1444)の「麹騒動」の際、木彫りの時鳥が梢に止まって鳴くという奇譚がありました。麹騒動とは、麹づくりをなりわいとする同業者の仲間の権利を巡るひともんちゃく。この権利の仕切り役は天満宮の北野神人でした。神人(じにん)とは神社で働く人。麹室での麹づくりにからむ免税や独占製造権など、ここは金づるでした。応永26年(1419)、幕府は北野神人に麹づくり特権を認めていました。以来、別当の安楽寺が神仏分離令で明治元年に廃寺となるまで、時鳥の扁額は火災、疱瘡除けの霊宝とされ、毎年旧暦6月15日にかぎって開帳されていました。
まあ、以上、なんだか要領を得ない話ですが、時鳥がこの社の特別な名物だった由来は、なんとなくわかります。北野天満宮ですから梅が名所。梅にうぐいす、といきたいところなのに、ここはほととぎすとなります。