あきれがいげにあがる
「いげ」は湯気で、古い江戸訛。
東京の下町では「う(u)」「ゆ(yu)」は「い」に近い発音に音韻変化して聞こえます。
「湯気にあがる」は、熱湯、長湯で湯にあたってのぼせる意。
したがって、「いつまで湯にへえってやがる。呆れ果てて物が言えねえ。こっちの方が焦れてのぼせてしっくりけえっちまう」という風に意訳できます。
「呆れ」に掛けた言葉遊びは、「呆れ蛙の頬被り」「呆れが御礼」「呆れが過ぎたらお正月」「呆れもは(果て)あいそ(愛想)もつ(尽きた)」「呆れ切幕トントン拍子」など多数あります。